Критерии минимизации взвешенного среднего показателя неоптимальности стратегий
Для данного критерия функция игры K(a, r, q) невозрастает по выигрышу а и неубывает по риску r:
K(a, r, q) Ø по а; Ú по r, (12)
показатели игры Kij= K(aij, rij, qj), показатели неоптимальности стратегий Ai
Оптимальной считается стратегия Ai0, минимизирующая показатель неоптимальностиKi:
Примерами таких критериев с функциями игры K(a, r, q), удовлетворяющими условиям (12), могут служить критерии:
8.1. K(a, r, q) = qr;
.2. K(a, r, q) = q(r-a).
В критерии 8.1 показатели неоптимальности стратегии Ai представляют собой взвешенное среднее рисков при стратегии Ai с весами q1, …, qn, и критерий 8.1, таким образом, является критерием минимизации взвешенного среднего риска.
Относительно критериев 7 и 8 имеет место следующее.
Утверждение 3. Все четыре критерия 7.1, 7.2, 8.1, 8.2 эквивалентны между собой:
.1 8.2. (13)Û 8.1 Û 7.2 Û
Доказательство. Рассмотрим, например, критерии 7.1 и 8.2. Показатели оптимальности в критерии 7.1 и неоптимальности в критерии 8.2 стратегий соответственно равны
и 
Складывая 
с
и используя при этом определение риска (2), получим
(14)
где
- взвешенное среднее максимальных выигрышей при каждом состоянии природы Пj. Из (14) имеем:
Аналогичным образом можно получить выражение Ki через Li для других пар критериев 7.1 и 8.1, 7.2 и 8.2. Полученные выражения представлены в табл. 5.
Таблица 5
|
Критерии |
Критерии |
8.1 |
8.2 |
|
Показатели неоптимальности стратегий критерия 8 |
|
| |
|
Показатели оптимальности стратегий критерия 7 | |||
|
7.1 |
|
|
|
|
7.2 |
|
|
|
Из этой таблицы очевидно, что поскольку
для данной матрицы выигрышей (aij) есть величина постоянная, то показатель неоптимальности Ki в каждой клетке обращается в минимум при том же значении i, при котором показатель оптимальности Li обращается в максимум. Следовательно, имеем следующие эквиваленции критериев:
.1 8.2, из которыx Û 8.1, 7.2 Û 8.2, 7.2 Û 8.1, 7.1 Û следует требуемая экиваленция (13).
Отметим, 8.1 - известный факт (доказанный, например, вÛчто эквиваленция 7.1 [1], с. 502).
Из эквиваленции (13) можно сделать вывод о том, что из критериев 7.1, 7.2, 8.1, 8.2 достаточно применить один, причем с более простой функцией игры.