Минимаксно-миниминные критерии
Минимаксно-миниминные критерии являются результатом комбинации минимаксного и миниминного критериев. Показатель неоптимальности стратегии Ai определяется следующим образом:
где [0,1]- коэффициент оптимизма, аÎl
- показатели неоптимальности стратегии Ai соответственно в минимаксном и миниминном критериях (см. п. 4 и п. 6). Функции игры в этих двух критериях лучше выбирать соответствующими друг другу, как это указано в табл. 7.
Таблица 7
|
Критерии |
Выигрыши a |
Риски r |
Вероятности состояний природы q |
S (a, r, q) |
M (a, r, q) |
|
10.1 |
+ |
r |
r | ||
|
10.2 |
+ |
+ |
qr |
(1-q)r | |
|
10.3 |
+ |
+ |
r-a |
r-a | |
|
10.4 |
+ |
+ |
+ |
qr-(1-q)a |
(1-q)r-qa |
Оптимальной по критерию является стратегия Ai0, для которой
Данный = 0, в миниминныйlкритерий превращается в минимаксный критерий при = 1, в критерии Гурвица относительно рисков приlкритерий при
(критерий 10.1).
Утверждение 4. При одном и том же коэффициенте оптимизма 
максиминно-максимаксные критерии 9.3 и 9.4 эквиваленты соответственно минимаксно-миниминным критериям 10.3 и 10.4.
Доказательство. Для критериев 10.3 и 9.3 имеем:
откуда
т.е. будет минимальным для того значения i,l показатель неоптимальностиDi() будет максимален. Такимlдля которого показатель оптимальности Hi( 10.3 доказана.Ûобразом, эквиваленция 9.3
Эквиваленция 10.4 доказывается аналогично. nÛ9.4
Рассмотрим игру с природой, в которой игрок А имеет возможность применить одну из четырех стратегий А1, А2, А3, А4, а природа П может находиться в одном из трех состояний П1, П2, П3 с вероятностями соответственно q1 = 0,7; q2 = 0,1; q3 = 0,2. Известны выигрыши (aij) игрока А. Найдем оптимальные стратегии по рассмотренным выше критериям.